Question

9．已知ax-y+2a+1=0，当a∈[-1，$\frac{1}{3}$]时，恒有y＞0，求x的取值范围．

Answer 1

分析 将不等式恒成立转化为以a为主变量的不等式，构造函数，利用函数的性质即可得到结论

解答 解：∵ax-y+2a+1=0，
∴y=ax+2a+1；
当a∈[-1，$\frac{1}{3}$]时，恒有y＞0，
即ax+2a+1＞0在a∈[-1，$\frac{1}{3}$]时恒成立；
设f（a）=ax+2a+1，a∈[-1，$\frac{1}{3}$]；
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞0}\\{f（\frac{1}{3}）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x-2+1＞0}\\{\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}+1＞0}\end{array}\right.$，
解得-5＜x＜-1；
∴x的取值范围是-5＜x＜-1．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式转化为以a为主变量，构造函数是解决本题的关键