Question

4．设x₀为函数f（x）=sinπx的零点，且满足|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33，则这样的零点有（　　）

• A． 61个
• B． 63个
• C． 65个
• D． 67个

Answer 1

分析 根据函数零点的定义，先求出x₀的值，进行求出f（x₀+$\frac{1}{2}$）的值，然后解不等式即可．

解答 解：∵x₀为函数f（x）=sinπx的零点，
∴sinπx₀=0，即πx₀=kπ，k∈Z，
则x₀=k，则f（x₀+$\frac{1}{2}$）=sin（x₀+$\frac{1}{2}$）π=sin（πx₀+$\frac{π}{2}$）=cosπx₀，
若k是偶数，则f（x₀+$\frac{1}{2}$）=1，
若k是奇数，则f（x₀+$\frac{1}{2}$）=-1，
当k是偶数时，则由|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33得|x₀|＜-f（x₀+$\frac{1}{2}$）+33，
即|k|＜-1+33=32，
则k=-30，-28，…28，30，共31个，
当k是奇数时，则由|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33得|x₀|＜-f（x₀+$\frac{1}{2}$）+33，
即|k|＜1+33=34，
则k=-33，-31，…31，33，共34个，
故共有31+34=65个，
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据三角函数的性质，求出函数的零点，利用分类讨论思想是解决本题的关键．