Question

19．已知函数f（x）=ae^x-1-1（x∈R），若方程f（x）+|x-a|=0有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为[0，1）∪{-1}．

Answer 1

分析 根据函数和方程之间的关系讲方程转化为f（x）=-|x-a|，利用数形结合分别作出函数f（x）与g（x）=-|x-a|的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由f（x）+|x-a|=0得f（x）=-|x-a|，
设g（x）=-|x-a|，
①若a=0，则f（x）=-1，g（x）=-|x|，作出f（x）和g（x）的图象如图：此时两个函数有两个交点，满足条件，

②若a＞0，则函数g（x）的零点为（a，0），
由f（x）=0得ae^x-1-1=0，即e^x-1=$\frac{1}{a}$，
则x-1=ln$\frac{1}{a}$=-lna，
则x=1-lna，
即f（x）的零点为（1-lna，0），
若两个函数有两个零点，
则1-lna＞a，即1-lna-a＞0，
设h（a）=1-lna-a，则函数在（0，+∞）上为减函数，
∵h（1）=1-ln1-1=0，
∴由h（a）＞0得h（a）＞h（1），得a＜1．
即此时0＜a＜1，

③若a＜0，当x＞a时，g（x）=-|x-a|=-x+a，
当g（x）与f（x）相切时，满足有两个交点，
此时f′（x）=ae^x-1，设切点为（m，n），
则切线斜率k=ae^m-1，n=ae^m-1-1，即切点坐标为（m，ae^m-1-1），
则切线方程为y-（ae^m-1-1）=ae^m-1（x-m），
即y=ae^m-1（x-m）+（ae^m-1-1）=ae^m-1•x-mae^m-1+ae^m-1-1，
∵g（x）=-x+a
∴ae^m-1=-1，-mae^m-1+ae^m-1-1=a，
得m-1-1=a，即m=a+2，
则ae^a+2-1=-1，即ae^a+1=-1，
得a=-1，

综上所述，0≤a＜1或a=-1
故答案为：[0，1）∪{-1}

点评 本题主要考查根的个数的判断，根据函数与方程的关系，转化为两个函数的交点问题，利用分类讨论的数学思想进行求解即可，综合性较强，难度较大．