Question

14．已知函数f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上处处可导，若[f（x）-f′（x）]tanx-f（x）＜0，则（　　）

• A． $f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）$一定小于$0.6f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）$
• B． $f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）$一定大于$0.6f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）$
• C． $f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）$可能大于$0.6f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）$
• D． $f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）$可能等于$0.6f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）$

Answer 1

分析 构造g（x）=f（x）sinx，根据已知条件判断g（x）与g′（x）的关系，再构造h（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，判断h（x）的单调性，利用单调性得出结论．

解答 解：∵[f（x）-f′（x）]tanx-f（x）＜0，∴f（x）sinx＜f′（x）sinx+f（x）cosx．
令g（x）=f（x）sinx，则g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx＞f（x）sinx=g（x）．∴g′（x）-g（x）＞0．
令h（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，则h′（x）=$\frac{g′（x）-g（x）}{{e}^{x}}$＞0．∴h（x）是增函数．
∴h（ln$\frac{3}{2}$）＜h（ln$\frac{5}{2}$），即$\frac{f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）}{{e}^{ln\frac{3}{2}}}$＜$\frac{f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）}{{e}^{ln\frac{5}{2}}}$，化简得f（ln$\frac{3}{2}$）sin（ln$\frac{3}{2}$）＜0.6f（ln$\frac{5}{2}$）sin（ln$\frac{5}{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查了导数的运算，导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．