Question

3．已知函数$f（α）=2sin（α-\frac{π}{6}）$．
（1）当$f（α）=1，（0＜α＜\frac{π}{2}）$时，求α的值；
（2）当$f（α）=\frac{6}{5}，（0＜α＜\frac{π}{2}）$时，求$f（2α+\frac{π}{12}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由f（α）=1得sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，根据α的范围判断α-$\frac{π}{6}$的范围，得出α-$\frac{π}{6}$的值；
（2）由f（α）的值得出sin（α-$\frac{π}{6}$）的值，根据α-$\frac{π}{6}$的范围求出cos（α-$\frac{π}{6}$），使用二倍角公式求出sin（2$α-\frac{π}{3}$）的值，在利用和角公式的正弦三角公式得出f（2$α+\frac{π}{12}$）．

解答 解：（1）∵f（α）=2sin（$α-\frac{π}{6}$）=1，∴sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∵0$＜α＜\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，∴$α-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，∴α=$\frac{π}{3}$．
（2）由$f（α）=\frac{6}{5}$，得$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}$．∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，∴$cos（α-\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$．
∴$sin（2α-\frac{π}{3}）=2sin（α-\frac{π}{6}）cos（α-\frac{π}{6}）=\frac{24}{25}$．$cos（2α-\frac{π}{3}）={cos^2}（α-\frac{π}{6}）-{sin^2}（α-\frac{π}{6}）=\frac{7}{25}$．
∴$f（2α+\frac{π}{12}）=2sin（2α-\frac{π}{12}）=2sin（2α-\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）$=$2sin（2α-\frac{π}{3}）cos\frac{π}{4}+2cos（2α-\frac{π}{3}）sin\frac{π}{4}=\frac{{31\sqrt{2}}}{25}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换和求值，熟练掌握三角公式，发现角的关系是解题关键．