Question

13．已知函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的图象经过三点$（{0，\frac{1}{8}}），（{\frac{5}{12}，0}），（{\frac{11}{12}，0}）$，在区间$（{\frac{5}{12}，\frac{11}{12}}）$内有唯一的最小值．
（Ⅰ）求出函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在R上的单调递增区间和对称中心坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得函数的周期T，进而可得ω，代点可得ϕ和A，可得解析式；
（Ⅱ）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数的单调递增区间，解2πx+$\frac{π}{6}$=kπ可得函数的对称中心．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（$\frac{11}{12}$-$\frac{5}{12}$）=1，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2π，又由题意当x=$\frac{5}{12}$时，y=0，
∴Asin（2π×$\frac{5}{12}$+ϕ）=0即sin（$\frac{5π}{6}$+ϕ）=0
结合0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$可解得ϕ=$\frac{π}{6}$，
再由题意当x=0时，y=$\frac{1}{8}$，
∴Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{8}$，∴A=$\frac{1}{4}$
∴$f（x）=\frac{1}{4}sin（{2πx+\frac{π}{6}}）$；
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得k-$\frac{1}{3}$≤x≤k+$\frac{1}{6}$
∴函数的单调递增区间为[k-$\frac{1}{3}$，k+$\frac{1}{6}$]（k∈Z）
当2πx+$\frac{π}{6}$=kπ时，f（x）=0，解得x=$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{12}$，
∴函数的对称中心为$（{\frac{k}{2}-\frac{1}{12}，0}）（{k∈Z}）$

点评 本题考查三角函数的图象和解析式，涉及单调性和对称性，属中档题．