Question

3．已知函数f（x）=3sin（$\frac{π}{4}$-ωx）（ω＞0），定义域是[0，π]，f（x）相邻两个零点之差的绝对值为$\frac{π}{2}$，则函数f（x）的单调递减区间是（　　）

• A． [0，$\frac{3π}{8}$]
• B． [$\frac{3π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]
• C． [0，$\frac{3π}{8}$]和[$\frac{7π}{8}$，π]
• D． [$\frac{7π}{8}$，π]

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=-3sin（ωx-$\frac{π}{4}$），周期T=$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$=π，解得ω，可得函数解析式，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间，结合范围x∈[0，π]，即可得解．

解答 解：∵f（x）=3sin（$\frac{π}{4}$-ωx）=-3sin（ωx-$\frac{π}{4}$），f（x）相邻两个零点之差的绝对值为$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$=π，解得：ω=2，
∴f（x）=-3sin（2x-$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间是：[k$π-\frac{π}{8}$，k$π+\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴x∈[0，$\frac{3π}{8}$]和[$\frac{7π}{8}$，π]．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数周期公式的应用，考查了正弦函数的单调性，利用周期公式求ω的值是解题的关键，属于中档题．