Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S_n=n²+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n是数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和，试证明：T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）运用当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通项公式；
（2）运用数列的求和方法：裂项相消求和，求得T_n，再由不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）由题意得：当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∴a₁不满足上式，
∴{a_n}的通项公式为${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2&{n=1}\\{2n-1}&{n≥2}\end{array}}\right.$；
（2）证明：T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{3•5}$+$\frac{1}{5•7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$＜$\frac{1}{3}$，
即有原不等式成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标相减法，考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．