Question

10．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{8}$+$\frac{ln4}{15}$+…$\frac{lnn}{{n}^{2}-1}$+（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜$\frac{{n}^{2}+n+10}{4}$（n∈N^*且n＞1）．

Answer 1

分析 （1）先将问题等价为：f（x）_max≤0，再通过分类讨论求出函数的最大值，进而得出k的取值范围；
（2）先令k=1，得出函数不等式，ln≤x-1，再分别令x=1+$\frac{1}{n}$和x=n²得出，（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ≤e＜3和$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{8}$+$\frac{ln4}{15}$+…$\frac{lnn}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$，两式相加即可得出原不等式．

解答 解：（1）根据题意，问题等价为，f（x）_max≤0，
对函数求导得，f'（x）=$\frac{1}{x}$-k（x＞0），
①当k≤0时，f（1）=1-k＞0，与f（x）≤0恒成立不符，故舍去；
②当k＞0时，由f'（x）=0解得，x=$\frac{1}{k}$，则
x∈（0，$\frac{1}{k}$），f'（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（$\frac{1}{k}$，+∞），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以，f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=ln$\frac{1}{k}$≤0，所以k≥1，
综合以上讨论得，实数k的取值范围为：[1，+∞）；
（2）令k=1，由（1）得，lnx≤x-1恒成立，
令x=1+$\frac{1}{n}$代入上式得，ln（1+$\frac{1}{n}$）≤$\frac{1}{n}$，
所以，ln（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ≤1，即（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ≤e＜3，-----------------------①
另一方面，当n≥2时，令x=n²得，
lnn²＜n²-1，两边同除以n²-1得，$\frac{lnn}{n^2-1}$＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{n}{2}$，
再分别令n=2，3，4，…，n（共n-1项）累加得，
$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{8}$+$\frac{ln4}{15}$+…$\frac{lnn}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{1}{2}$（2+3+4+…+n）=$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$，---------②
将①+②得，
$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{8}$+$\frac{ln4}{15}$+…$\frac{lnn}{{n}^{2}-1}$+（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$+3=$\frac{n^2+n+10}{4}$，证毕．

点评 本题主要考查了导数在求函数最值中的应用，以及运用函数不等式构造数列不等式证明与自然数有关的命题，涉及等差数列求和与构造法的灵活运用，属于难题．