Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意n∈N⁺，都有S_n=2a_n-2．
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{3}^{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n．证明：$\frac{1}{5}$≤T_n≤$\frac{\sqrt{6}+1}{10}$．

Answer 1

分析 （I）当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，将n换为n-1，相减，由等比数列的通项公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{3}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+{3}^{n}}$，前n项和为T_n≥T₁=$\frac{1}{5}$；由基本不等式可得2ⁿ+3ⁿ＞2$\sqrt{{6}^{n}}$，再由不等式的性质和等比数列的求和公式，即可得证．

解答 解：（I）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，
解得a₁=2，
当n＞1时，S_n=2a_n-2，
可得S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减可得a_n=2a_n-2a_n-1，
即为a_n=2a_n-1，
则{a_n}为首项为2，公比为2的等比数列，
可得a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{3}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+{3}^{n}}$，
前n项和为T_n≥T₁=$\frac{1}{5}$；
由2ⁿ+3ⁿ＞2$\sqrt{{6}^{n}}$，可得
前n项和为T_n＜$\frac{1}{2\sqrt{6}}$+$\frac{1}{2•6}$+$\frac{1}{2•6\sqrt{6}}$+…+$\frac{1}{2•（\sqrt{6}）^{n}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{\frac{1}{\sqrt{6}}（1-\frac{1}{（\sqrt{6}）^{n}}）}{1-\frac{1}{\sqrt{6}}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{6}-1}$（1-$\frac{1}{（\sqrt{6}）^{n}}$）＜$\frac{\sqrt{6}+1}{10}$．
综上可得，$\frac{1}{5}$≤T_n≤$\frac{\sqrt{6}+1}{10}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标变换相减法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．