Question

5．下列几个命题：
①已知函数y=x²+2ax+a²-a（x∈R），若y可以取到负值，则实数a的取值范围是（0，+∞）；
②函数y=|x-1|-|x+1|既不是偶函数，也不是奇函数；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x-1）的值域为[-1，3]；
④设函数y=f（x）（x∈R）满足：f（1-x）=f（1+x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
其中正确的有①④．（写出所有你认为正确的编号）

Answer 1

分析 ①y可以取到负值，则△=4a²-4（a²-a）＞0，可求实数a的取值范围；
②利用奇函数的定义进行验证；
③函数f（x-1）的图象是由函数f（x）的图象向右平移1个单位得到的；
④设函数y=f（x）（x∈R）满足：f（1-x）=f（1+x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．

解答 解：①已知函数y=x²+2ax+a²-a（x∈R），若y可以取到负值，则△=4a²-4（a²-a）＞0，∴a＞0，∴实数a的取值范围是（0，+∞），正确；
②f（-x）=|-x-1|-|-x+1|=|x+1|-|x-1|=-f（x），是奇函数，不正确；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x-1）的值域为[-2，2]，不正确；
④设函数y=f（x）（x∈R）满足：f（1-x）=f（1+x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查命题的真假判断，考查函数值，值域，考查函数的奇偶性、对称性，属于中档题．