Question

10．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，$f′（x）+\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=f（1），b=-2f（-2），c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＜c＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜b＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 根据a，b，c的表示形式构造函数g（x）=xf（x），根据条件可说明x＞0时，g′（x）＞0，这便得到g（x）在（0，+∞）上单调递增．而由f（x）为奇函数便可得到b=2f（2），c=（ln2）f（ln2），而容易判断ln2＜1＜2，从而得到g（ln2）＜g（1）＜g（2），这样便可得出a，b，c的大小关系．

解答 解：设g（x）=xf（x），$g′（x）=f（x）+xf′（x）=x[f′（x）+\frac{f（x）}{x}]$；
∵x≠0时，$f′（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$；
∴x＞0时，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∵f（x）为奇函数；
∴b=-2f（-2）=2f（2），$c=（ln\frac{1}{2}）f（ln\frac{1}{2}）=（-ln2）f（-ln2）=（ln2）f（ln2）$；
又a=f（1）=1f（1）；
∵ln2＜1＜2，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴g（ln2）＜g（1）＜g（2）；
即（ln2）f（ln2）＜1f（1）＜2f（2）；
∴c＜a＜b．
故选：D．

点评 考查构造函数解决问题的方法，会求积的导数，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及奇函数的定义，增函数的定义．