Question

15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=$\sqrt{6}$．O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若三棱锥P-EAD的体积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求证：PD∥平面EAC．

Answer 1

分析 （1）由已知得AC⊥BD，AC⊥PD，由此能证明平面AEC⊥平面PDB．
（2）取AD中点H，连结BH，PH，在△PBH中，经点E作EF∥BH，交PH于点F，由已知可得BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD，BH=$\sqrt{3}$，由V_P-EAD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}$×2×EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，V_B-PAD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×AD×PD×BH$=$\sqrt{2}$．利用体积之比可得$\frac{EF}{BH}$=$\frac{1}{2}$，可得E为PB中点，又O为BD中点，可得OE∥PD，即可得证．

解答 （本题满分为10分）
证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∴AC⊥平面PBD，
又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（2）取AD中点H，连结BH，PH，在△PBH中，经点E作EF∥BH，交PH于点F，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，
∴BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD，
可得：BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴V_P-EAD=V_E-PAD=$\frac{1}{3}×$S_PAD×EF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PD×AD×EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}$×2×EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
V_B-PAD=$\frac{1}{3}$×S_△PAD×BH=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×AD×PD×BH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}×\sqrt{3}$=$\sqrt{2}$．
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{EF}{BH}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，可得E为PB中点，
又∵O为BD中点，
∴OE∥PD，
∵PD?平面EAC，OE?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．