Question

5．已知曲线xy=1，过其上任意一点P作切线与x轴、y轴分别交于Q、R．求证：
（1）P平分QR；
（2）△OQR的面积是定值．

Answer 1

分析 （1）设P（m，$\frac{1}{m}$），求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程求得切线的方程，分别令x=0，y=0，可得Q，R的坐标，再由中点坐标公式即可得证；
（2）运用三角形的面积公式可得S=$\frac{1}{2}$|OQ|•|OR|，计算即可得证．

解答 证明：（1）设P（m，$\frac{1}{m}$），由y=$\frac{1}{x}$可得y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有P点出的切线的斜率为-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
切线的方程为y-$\frac{1}{m}$=-$\frac{1}{{m}^{2}}$（x-m），
由x=0，可得y=$\frac{2}{m}$；y=0可得x=2m．
即有Q（2m，0），R（0，$\frac{2}{m}$），
则P为QR的中点，即P平分QR；
（2）△OQR的面积是S=$\frac{1}{2}$|OQ|•|OR|
=$\frac{1}{2}$•2|m|•$\frac{2}{|m|}$=2为定值．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义和直线的方程，考查中点坐标公式和三角形的面积计算，属于中档题．