Question

13．已知曲线C：y=3x⁴-2x³-9x²+4
①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
②第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点．

Answer 1

分析 ①根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；
②由①得出的切线方程与y=3x⁴-2x³-9x²+4组成方程组，解得两组解，从而得出切线与曲线C还有其他的公共点．

解答 解：①y'=12x³-6x²-18x，
可得y'|_x=1=12×1³-6×1²-18×1=-12，
而切点的坐标为（1，-4），
∴曲线y=3x⁴-2x³-9x²+4在x=1的处的切线方程为：y+4=-12（x-1），
即12x+y-8=0；
②由方程组：$\left\{\begin{array}{l}{12x+y-8=0}\\{y=3{x}^{4}-2{x}^{3}-9{x}^{2}+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=32}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
故切线与曲线C还有其他的公共点：（-2，32），（$\frac{2}{3}$，0）．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力和方程思想，属于中档题．