Question

18．已知函数f（x）=x²+xsinx+cosx，且曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，试求函数g（x）=bx²+2x+a的最小值．

Answer 1

分析 由题意可得f′（a）=0，f（a）=b，联立解出a，b，即可求函数g（x）=bx²+2x+a的最小值．

解答 解：f′（x）=2x+xcosx，
∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，
∴f′（a）=0，f（a）=b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2a+acosα=0}\\{{a}^{2}+asinα+cosα=b}\end{array}\right.$，
解得a=0，b=1，
∴g（x）=bx²+2x+a=（x+1）²-1，
∴x=-1时，g（x）的最小值为-1．

点评 熟练掌握利用导数的几何意义是解题的关键．