Question

7．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式（$\frac{1}{2}$）^|x-1|≥a的解集为Ф，命题q：函数f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+ax+2}$的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q为假”，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．

解答 解：若p正确，则由$0＜{（\frac{1}{2}）^{|x-1|}}≤1$，得a＞1．…（3分）
若q正确，则ax²+ax+2≥0的解集为R．
当a=0时，2＞0满足题意；  …（5分）
当a≠0时，则$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a^2}-8a≤0}\end{array}}\right.$，解得0＜a≤8，
所以，若q正确，0≤a≤8…（8分）
由题意知，p和q中有且仅有一个正确，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜0或a＞8}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a≤1}\\{0≤a≤8}\end{array}}\right.$，…（10分）
所以a＞8或0≤a≤1．…（12分）

点评 考查指数函数的单调性，空集的概念，对数函数的定义域，一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．