Question

15．已知二次函数y=f（x）的对称轴为x=-2，且过点（0，-8）与（2，4）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．求此数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法的运用，解方程可得二次函数的解析式；
（2）可得S_n=f（n）=n²+4n-8，讨论n=1，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简即可得到所求通项公式．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=a（x+2）²+h，
即有-8=4a+h，16a+h=4，
解得a=1，h=-12，
即有f（x）=（x+2）²-12=x²+4x-8；
（2）数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）=n²+4n-8，
n=1时，a₁=S₁=1+4-8=-3；
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-8-（n-1）²-4（n-1）+8=2n+3，
综上可得，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3，n=1}\\{2n+3，n≥2，n∈N}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，考查运算能力，属于中档题．