Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在[1，10]上存在增区间，则正实数a的取值范围为（$\frac{1}{10}$，1]．

Answer 1

分析 求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，求出f（x）的单调增区间，即得正实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx（a＞0），∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（x＞0）；
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$；
∴在（0，$\frac{1}{a}$]上f′（x）≤0，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上是减函数，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上是增函数；
∵函数f（x）在区间[1，10]上存在增区间，
∴1≤$\frac{1}{a}$＜10，又a＞0，
∴$\frac{1}{10}$＜a≤1；
故答案为：（$\frac{1}{10}$，1]．

点评 本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．