Question

10．在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y²=2x相交于A，B两点，实数t为正数，若命题“如果直线l过点T（t，0），那么$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3”的逆否命题为真命题，则t=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到命题“如果直线l过点T（t，0），那么$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3”的逆否命题为真命题．

解答 解：设过点T（t，0）的直线l交抛物线y²=2x于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=t，
此时，直线l与抛物线相交于点A（t，$\sqrt{2t}$）、B（t，-$\sqrt{2t}$）．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=t²-2t=3，
∵t＞0，
∴t=3
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，
与抛物线方程联立ky²-2y-6k=0⇒y₁y₂=-6，
又∵x₁=$\frac{1}{2}$y₁²，x₂=$\frac{1}{2}$y₂²，
∴x₁x₂=9，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=3，
综上所述，t=3，命题“如果直线l过点T（3，0），那么$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3”的逆否命题为真命题，
故选：B

点评 本题考查了真假命题的判断，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．