Question

19．已知：⊙O的方程为x²+y²=9，点A（5，0），过点A作⊙O的切线AP，P为切点．
（1）求PA的长；
（2）在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对⊙O上任意一点C，都有$\frac{CB}{CA}$为定值，若存在，求B点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知OA=5，OP=r=3，利用勾股定理能求出PA．
（2）设x轴上存在点B（m，0），满足对⊙O上任意一点C（x，$±\sqrt{9-{x}^{2}}$），都有$\frac{CB}{CA}$为定值$\sqrt{λ}$，从而$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+9-{x}^{2}}}{\sqrt{（x-5）^{2}+9-{x}^{2}}}=\sqrt{λ}$，由此能求出B点坐标．

解答 解：（1）∵⊙O的方程为x²+y²=9，点A（5，0），过点A作⊙O的切线AP，P为切点，
∴OA=5，OP=r=3，
∴PA=$\sqrt{O{A}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4．
（2）设x轴上存在点B（m，0），满足对⊙O上任意一点C（x，$±\sqrt{9-{x}^{2}}$），都有$\frac{CB}{CA}$为定值$\sqrt{λ}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+9-{x}^{2}}}{\sqrt{（x-5）^{2}+9-{x}^{2}}}=\sqrt{λ}$，
整理，得：（10λ-2m）x+m²-34λ+9=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10λ-2m=0}\\{{m}^{2}-34λ+9=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{9}{25}}\\{m=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{m=5}\end{array}\right.$，（舍）
∴m=$\frac{9}{5}$．∴B（$\frac{9}{5}$，0）．

点评 本题考查切线长的求法，考查点B的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．