Question

11．公差不等于零的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁．a₂．a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知T_n为数列$\left\{{\left.{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}}\right.$的前项和，若T_n≤λa_n+1对 一切n∈Z^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）设公差d不等于零的等差数列{a_n}，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得T_n，再由参数分离和数列的单调性，即可得到所求范围，可得最小值．

解答 解：（1）设公差d不等于零的等差数列{a_n}，
a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
由S₃=9，可得3a₁+3d=9，即为a₁+d=3，
a₁．a₂．a₅成等比数列，可得a₁a₅=a₂²，
即为a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²，
解得a₁=1，d=2（0舍去）
即有a_n=2n-1；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
由题意可得$\frac{n}{2n+1}$≤λ（2n+1），即为
λ≥$\frac{n}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4n+\frac{1}{n}+4}$，
由4n+$\frac{1}{n}$在[1，+∞）递增，可得最小值为4+1=5，
由T_n≤λa_n+1对 一切n∈N^*恒成立，
可得λ≥$\frac{1}{5+4}$=$\frac{1}{9}$．
即有实数λ的最小值为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项的性质，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和数列的单调性求最值，属于中档题．