Question

16．已知函数f（x）=1g$\frac{1+x}{1-x}$
（1）求f（x）的定义域；
（2）分析函数的单调性和奇偶性
（3）求满足0＜f（x）＜1的x取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题，可令$\frac{1+x}{1-x}$＞0，解出函数的定义域，（2）由f（-x）=-f（x），依据奇函数定义得出函数的奇偶性，再由复合函数单调性的判断方法判断出单调性即可；（3）解不等式求出x的范围即可．

解答 解：（1）由题意，令 $\frac{1+x}{1-x}$＞0，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域为（-1，1）；
（2）由于f（-x）=lg（ $\frac{1+x}{1-x}$）-1=-f（x），
∴函数是奇函数，
当x∈（-1，1）时，
y=1-x是减函数，
y=$\frac{2}{1-x}$是增函数，
y=$\frac{2}{1-x}$-1是增函数，
f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$是增函数，
综上，函数的定义域为（-1，1），此函数是一个奇函数，也是一个增函数；
（3）若0＜f（x）＜1，
则1＜$\frac{1+x}{1-x}$＜10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}＞1}\\{\frac{1+x}{1-x}＜10}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{x-1}＜0}\\{\frac{11x-9}{x-1}＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{x＜\frac{9}{11}}\end{array}\right.$
解得：0＜x＜$\frac{9}{11}$，
故x的范围是（0，$\frac{9}{11}$）．

点评 本题考点是对数函数图象与性质的应用，考察了对数函数定义域的求法，对数的运算性质，函数奇偶性的判断，复合函数单调性的判断规则，解题的关键是熟练掌握对数的性质、复合函数单调性的判断规则，本题考察了推理判断的能力．