Question

5．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，对任意x，y∈R，f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2014）=-1．

Answer 1

分析 由条件可令x不变，y=1，即有f（x+1）+f（x-1）=f（x），两次将x换为x+1，可得f（x+6）=f（x），进而得到f（x）为最小正周期为6的函数，f（2014）=f（6×335+4）=f（4），再由f（4）=-f（1），即可得到所求值．

解答 解：对任意x，y∈R，f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
可令x不变，y=1，可得f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
即为f（x+1）+f（x-1）=f（x），
将x换为x+1，f（x+2）+f（x）=f（x+1），
可得f（x+2）+f（x-1）=0，
将x换为x+1，可得f（x+3）+f（x）=0，
再将x换为x+3，可得f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
则f（x）为最小正周期为6的函数，
f（2014）=f（6×335+4）=f（4），
由f（4）+f（1）=0，可得f（4）=-f（1）=-1．
即f（2014）=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查函数的周期性和运用，考查抽象函数的常用方法：赋值法，考查运算能力，属于中档题．