Question

12．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x，x∈R，若至少存在一个实数x使得f（a-x）+f（ax²-1）＜0成立，a的范围为（-∞，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x，x∈R为奇函数，且在R上单调递增，由题意可得ax²-x+a-1＜0有解．分类讨论，求得a的范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x，x∈R为奇函数，且在R上单调递增，
至少存在一个实数x使得f（a-x）+f（ax²-1）＜0成立，
即不等式f（a-x）＜-f（ax²-1）=f（1-ax²）有解，
∴a-x＜1-ax²有解，即ax²-x+a-1＜0有解．
显然，a=0满足条件．
当a＞0时，由△=1-4a（a-1）＞0，即4a²-4a-1＜0，
求得$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，∴0＜a＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
当a＜0时，不等式ax²-x+a-1＜0一定有解．
故答案为：（-∞，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查特称命题，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．