Question

3．已知：$\overline{z}$-2zi=|z|-2i，求：z．

Answer 1

分析 设z=a+bi，a、b∈R，i是虚数单位，根据复数相等列出方程，求出a、b的值即可．

解答 解：设z=a+bi，a、b∈R，i是虚数单位；
∵$\overline{z}$-2zi=|z|-2i，
∴（a-bi）-2（a+bi）i=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-2i，
化简得（a+2b）-（b+2a）i=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-2i；
由复数相等得$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}\\{b+2a=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$；
∴z=1或z=$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$i．

点评 本题考查了复数的概念与代数运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．