Question

13．一款游戏的规则如下：如图为游戏棋盘，从起点到终点共7步，选定一副扑克牌中的4张A、2张2、1张3，其中A代表前进1步、2代表前进2步、3代表前进3步，如果在终点前一步时抽取到2或3，则只需前进一步结束游戏，如果在终点前两步时抽取到3，则只需前进两步结束游戏，游戏开始时不放回的依次抽取一张决定前进的步数．

（1）求恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率；
（2）若游戏结束抽取的卡片张数记为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）取4张步数要大于等于7，卡片可以是2个A、1个2、1个3或1个A、2个2、1个3，由此能求出恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率．
（2）由题意X可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）设抽取4张卡片即结束游戏为事件A，取4张步数要大于等于7，
卡片可以是2个A、1个2、1个3或1个A、2个2、1个3，
∴恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率：
P（A）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}{A}_{4}^{4}+{C}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}{A}_{3}^{3}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{3}{7}$．…5分（2）由题意X可能取值为3，4，5，6，
P（X=3）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}{A}_{4}^{4}+{C}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}{A}_{3}^{3}}{{A}_{4}^{7}}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=5）=$\frac{{A}_{5}^{5}+{C}_{4}^{3}{A}_{5}^{5}+{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}{A}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{A}_{4}^{4}}{{A}_{7}^{5}}$=$\frac{47}{105}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{5}^{5}+{C}_{2}^{1}{A}_{5}^{5}}{{A}_{7}^{6}}$=$\frac{2}{21}$，…10分
∴X的分布列为：

X	3	4	5	6
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{47}{105}$	$\frac{2}{21}$

EX=$3×\frac{1}{35}+4×\frac{3}{7}+5×\frac{47}{105}+6×\frac{2}{21}$=$\frac{484}{105}$．…12分

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．