Question

18．若存在实数m，n，k（m＜n＜k）使得关于x的不等式e^x-a（x²-x+1）≥0的解集为[m，n]∪[k，+∞），则实数a的取值范围是（$\frac{{e}^{2}}{3}$，e）．

Answer 1

分析 化简可得a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-x+1}$，令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-x+1}$，从而求导确定函数的单调性，从而解得．

解答 解：∵e^x-a（x²-x+1）≥0，
∴a（x²-x+1）≤e^x，
∴a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-x+1}$，
令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-x+1}$，
则f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-3x+2）}{（{x}^{2}-x+1）^{2}}$，
故f（x）在（-∞，1）上是增函数，在[1，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
故f_max（x）=e，f_min（x）=$\frac{{e}^{2}}{3}$；
∵关于x的不等式e^x-a（x²-x+1）≥0的解集为[m，n]∪[k，+∞），
∴$\frac{{e}^{2}}{3}$＜a＜e，
故答案为（$\frac{{e}^{2}}{3}$，e）．

点评 本题考查了导数的综合应用及不等式的解法与应用．