Question

7．设函数f（x）=ax²-bx+2b（a＞0），集合A={x|f（x）＜0}，若A∩Z的子集恰有4个，求$\frac{f（1）}{f（2）}$的取值范围．

Answer 1

分析 利用A∩Z的子集恰有4个，可得A中只含有2个整数．令ax²-bx+2b=0，△=b²-8ab，则1＜$\frac{\sqrt{△}}{a}$≤3，结合$\frac{f（1）}{f（2）}$=$\frac{a+b}{4a}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{b}{a}$，即可求出$\frac{f（1）}{f（2）}$的取值范围．

解答 解：A∩Z的子集恰有4个，∴A中只含有2个整数．
令ax²-bx+2b=0，△=b²-8ab，则|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{△}}{a}$
∵A中只含有2个整数，∴1＜$\frac{\sqrt{△}}{a}$≤3，
∴a²＜b²-8ab≤9a²，
∴1＜（$\frac{b}{a}$）²-8•$\frac{b}{a}$≤9，
∴-1≤$\frac{b}{a}$＜4-$\sqrt{17}$或4+$\sqrt{17}$＜$\frac{b}{a}$≤9，
∵$\frac{f（1）}{f（2）}$=$\frac{a+b}{4a}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{b}{a}$，
∴-$\frac{3}{4}$≤$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{17}{4}$-$\sqrt{17}$或$\frac{17}{4}$+$\sqrt{17}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$≤$\frac{37}{4}$．

点评 本题考查子集的性质，考查二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．