Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），a₁=1，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=1为首项，以2为公差的等差数列，求出S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得答案．

解答 解：当n≥2时，由a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，得
S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，即$（{S}_{n}-{S}_{n-1}）（2{S}_{n}-1）=2{{S}_{n}}^{2}$，
整理得：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$（n≥2），
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=1为首项，以2为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{S}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$．
∴${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
则${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}=-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$（n≥2）．
验证n=1时上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．