Question

14．如图在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AD=$\sqrt{3}$，BC=CD=2$\sqrt{3}$，点E是AB边上一点，现将△ADE沿边DE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，且CD⊥AD．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）过A作AO⊥DE于点O，推导出AO⊥CD，CD⊥AD，由此能证明CD⊥AE．
（2）过B作BH⊥DE，交DE延长线于点H，连结AH，则∠BAH即为直线AB与平面ADE所成的角，由此能求出直线AB与平面ADE所成角．

解答 证明：（1）过A作AO⊥DE于点O，
∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴AO⊥平面BCDE，∴AO⊥CD，
∵CD⊥AD，AD∩AO=A，∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥AE．
解：（2）过B作BH⊥DE，交DE延长线于点H，连结AH，
∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴BH⊥平面ADE，
∴∠BAH即为直线AB与平面ADE所成的角，
由（1）知CD⊥DE，
设AE=a，则BE=3-a，DE=$\sqrt{3+{a}^{2}}$，CE=$\sqrt{（3-{a}^{2}）+12}$，
∵DE²+CD²=CE²，∴a=1，即AE=1，DE=2，BE=2，
∴△ADE≌△HBE，∴HB=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AHB中，∠BAH=45°，
即直线AB与平面ADE所成角为45°．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．