Question

19．已知函数f（x）=a^x-a•x，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a≥e且n∈N^*，比较$\frac{n（n+1）}{2}$与$\frac{ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）}{lna}$的大小，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由题意得，对f（x）进行求导，由导函数的正负来确定f（x）的单调区间．
（2）将所要证明的问题转化为一种简单形式，由倒叙法，将只需证明的结论找到．再由第一归纳法证明即可．

解答 解：（1）a=e时，f（x）=e^x-ex
f′（x）=e^x-e，
令f′（x）=0，得x=1
x＜1时，f′（x）＜0
x＞1时，f′（x）＞0
则f（x）的递增区间是（-∞，1）
递减区间是（1，+∞）
（2）$\frac{n（n+1）}{2}$＞$\frac{ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）}{lna}$
∵a≥e
欲证$\frac{n（n+1）}{2}$＞$\frac{ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）}{lna}$成立
只需证${a}^{\frac{n（n+1）}{2}}$＞（a-1）（2a-1）（3a-1）…（na-1）（n∈N⁺），
只需证a•a²•a³…aⁿ＞（a-1）（2a-1）（3a-1）…（na-1），
即证aⁿ＞na-1 （n∈N⁺）
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a＞a-1成立，
②当n=k时，假设a^k＞ka-1成立，
那么当n=k+1时，a^k+1=a^k•a＞（ka+1）•a，
下面只需证明（ka-1）•a＞（k+1）a-1，
只需证明k（a²-a）＞2a-1，
∵a≥e，∴a²-a＞0，∴只需证明k＞$\frac{2a-1}{{a}^{2}-a}$，
∴只需证明1＞$\frac{2a-1}{{a}^{2}-a}$，只需证明a（a-3）＞-1，
只需证明a²-3a+1＞0对a≥e恒成立即可．
构造函数h（a）=a²-3a+1（a≥e），
∵h（a）=（a-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$在[e，+∞）单调递增，
∴h（a）≥h（e）=（e-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$＞0
∴当n=k+1时，a^k+1＞（k+1）a-1成立，
由①和②可知，对一切n∈N⁺，aⁿ＞na-1成立．
∴当a≥e时，$\frac{n（n+1）}{2}$＞$\frac{ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）}{lna}$成立．

点评 本题主要考察函数的单调性与导数的关系和第一归纳法的证明过程．尤其是第二问较为复杂，证明时需要思路清晰．