Question

10．设直线l是过圆（x-4）²+y²=25与x轴正半轴交点的切线，试求到l与到此圆心的距离之比为3：2的点的轨迹，并指出此轨迹的顶点坐标、焦点坐标和离心率．

Answer 1

分析 求出直线l，利用点到l与到此圆心的距离之比为3：2，建立方程，即可得出结论．

解答 解：圆（x-4）²+y²=25与x轴正半轴交点坐标为（9，0），∴直线l：x=9．
设点的坐标为（x，y），则4|x-9|²=9（x-4）²+y²，
化简得$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{180}$=1，
∴a=6$\sqrt{5}$，b=6，c=2$\sqrt{39}$，
∴顶点坐标（0，±6$\sqrt{5}$），（±6，0）、焦点坐标（0，±2$\sqrt{39}$），离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{195}}{15}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆的性质，确定轨迹方程是关键．