Question

18．设函数f（x）=e^x-ax²-2x-1．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，且l在y轴上的截距为-2，求实数a的值；
（2）若1＜a＜2，证明：存在x₀∈（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$），使得f′（x₀）=0，且f（x₀）＜$\frac{15}{16}$．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，再由两点的斜率公式，解方程可得a的值；
（2）求出导数，求得f′（-$\frac{1}{a}$）＞0，f′（-$\frac{1}{4}$）＜0在1＜a＜2成立，运用零点存在定理可得存在x₀∈（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$），使得f′（x₀）=0；再由f（x₀）-$\frac{15}{16}$=-ax₀²+（2a-2）x₀+$\frac{1}{16}$，求出对称轴和区间的关系，求得端点的函数值的符号，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-ax²-2x-1的导数为f′（x）=e^x-2ax-2，
在点（1，f（1））处的切线斜率为e-2a-2，
切点为（1，e-a-3），又切线过（0，-2），
则e-2a-2=$\frac{e-a-3+2}{1-0}$，解得a=-1；
（2）证明：由1＜a＜2，f′（-$\frac{1}{a}$）=${e}^{-\frac{1}{a}}$+2-2＞0，
f′（-$\frac{1}{4}$）=${e}^{-\frac{1}{4}}$+$\frac{a}{2}$-2＜0在1＜a＜2成立，
由零点存在定理可得，
存在x₀∈（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$），使得f′（x₀）=0；
且f′（x₀）=e^x₀-2ax₀-2=0，即e^x₀=2ax₀+2，
可得f（x₀）=e^x₀-ax₀²-2x₀-1=-ax₀²+（2a-2）x₀+1，
由f（x₀）-$\frac{15}{16}$=-ax₀²+（2a-2）x₀+$\frac{1}{16}$，
对称轴为x₀=$\frac{a-1}{a}$＞0，区间（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$）为增区间，
由f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{a}{16}$-$\frac{1}{2}$（a-1）+$\frac{1}{16}$=$\frac{9}{16}$（1-a）＜0，
又f（-$\frac{1}{4}$）＞f（-$\frac{1}{a}$），
则f（x₀）在（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$）都有f（x₀）＜$\frac{15}{16}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，同时考查零点存在定理的运用，属于中档题．