Question

7．已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，n∈N^*，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求；
（2）方法一、求得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3n+2}{{2}^{n-2}}$-$\frac{3n+5}{{2}^{n-1}}$=c_n-c_n+1，再由裂项相消求和，化简整理即可得到所求；
方法二、三运用数列的求和方法：错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由a₁=b₁=2，得${a_4}=2+3d，{b_4}=2{q^3}，{S_4}=8+6d$，
由条件得方程组$\left\{\begin{array}{l}2+3d+2{q^3}=27\\ 8+6d-2{q^3}=10\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}d=3\\ q=2\end{array}\right.$，
故${a_n}=3n-1，{b_n}={2^n}（n∈{N^*}）$；
（2）法一：${T_n}={a_n}{b_1}+{a_{n-1}}{b_2}+{a_{n-2}}{b_3}+…+{a_1}{b_n}={2^n}{a_1}+{2^{n-1}}{a_2}+…+2{a_n}$
=${2^n}（{a_1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}）$，
又因为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3n+2}{{2}^{n-2}}$-$\frac{3n+5}{{2}^{n-1}}$=c_n-c_n+1（令${c_n}=\frac{3n+2}{{{2^{n-2}}}}$）
所以T_n=2ⁿ[（c₁-c₂）+（c₂-c₃）+…+（c_n-c_n+1）]=2ⁿ（c₁-c_n+1）
=10•2ⁿ-2（3n+5）；
法二：${T_n}={a_n}{b_1}+{a_{n-1}}{b_2}+{a_{n-2}}{b_3}+…+{a_1}{b_n}={2^n}{a_1}+{2^{n-1}}{a_2}+…+2{a_n}$
=${2^n}（{a_1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}）$，
令${M_n}={a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$，$\frac{1}{2}{M_n}=\frac{1}{2}{a_1}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}+\frac{a_n}{2^n}$，
两式相减得到：$\frac{1}{2}{M_n}=（{{a_1}-\frac{1}{2^n}{a_n}}）+3（{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）$
=$2-\frac{3n-1}{2^n}+3•\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=5-\frac{3n+5}{2^n}$，
所以${M_n}=10-\frac{3n+5}{{{2^{n-1}}}}$，
所以${T_n}={2^n}•{M_n}=10•{2^n}-2（3n+5）$．
法三：T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₂b_n-1+a₁b_n
即${T_n}=2（3n-1）+{2^2}（3n-4）+{2^3}（3n-7）+…+{2^{n-1}}•5+{2^n}•2$，
则$2{T_n}={2^2}（3n-1）+{2^3}（3n-4）+{2^4}（3n-7）+…+{2^n}•5+{2^{n+1}}•2$，
两式相减得到：${T_n}=-2（3n-1）+3（{2^2}+{2^3}+…+{2^n}）+{2^{n+1}}•2$
=$-2（3n-1）+3×\frac{{4-{2^{n+1}}}}{1-2}+{2^{n+1}}×2$
=5•2ⁿ⁺¹-6n-10=10•2ⁿ-2（3n+5）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和错位相减法，考查化简整理的能力，属于中档题．