Question

17．已知函数f（x）=-x³+6x²-9x+8，则过点（0，0）可以作几条直线与函数y=f（x）图象相切（　　）

• A． 3
• B． 1
• C． 0
• D． 2

Answer 1

分析 设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把A的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再解方程即可判断切点横坐标的个数，从而答案可求．

解答 解：设切点为P（x₀，-x₀³+6x₀²-9x₀+8），
f（x）=-x³+6x²-9x+8的导数为f′（x）=-3x²+12x-9，
则f′（x₀）=-3x₀²+12x₀-9，
则切线方程y+x₀³-6x₀²+9x₀-8=（-3x₀²+12x₀-9）（x-x₀），
代入O（0，0）得，x₀³-3x₀²+4=0，
即有（x₀³+1）-3（x₀²-1）=0，
即有（x₀+1）（x₀-2）²=0，解得x₀=-1或2，
则切线有两条．
故选D．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上点的切线问题，考查了利用切线方程，解方程的运算能力，是中档题．