Question

16．在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，PA=6，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D为PA的中点，则当△CDH的面积最大时，CB=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先证出△CHD是直角三角形，再利用基本不等式得出CH=DH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时△CDH的面积最大，再利用三角形的等积法求出BC的值．

解答 解：三棱锥P-ABC中，PC⊥面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB，
又AB⊥BC，BC∩PC=C，∴AB⊥平面PBC，
又CH?平面PBC，∴AB⊥CH，
又CH⊥PB，PB∩AB=B，
∴CH⊥平面PAB，
又DH?平面PAB，∴CH⊥DH，
又△PAC是等腰直角三角形，且PA=6，D是PA的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$PA=3，PC=AC=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，
设CH=a，DH=b，
则a²+b²=CD²=9，
∴9=a²+b²≥2ab，即$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{9}{4}$，
当且仅当a=b=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，“=”成立，此时△CDH的面积最大；
在Rt△PBC，设BC=x，
则PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{18+{x}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}$PC•BC=$\frac{1}{2}$PB•CH，
即3$\sqrt{2}$•x=$\sqrt{18+{x}^{2}}$•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得x=$\sqrt{6}$，
∴CB的长是$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了空间几何体的平行与垂直关系的应用问题，也考查了面积公式的应用问题，考查了利用基本不等式求最值的问题，是综合性题目．