Question

4．设空间向量$\overrightarrow{a}$=（3，5，-4），$\overrightarrow{b}$=（2，1，8）．
（1）计算2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的值，并求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所成角的余弦值；
（2）当λ、μ，满足什么条件时，使得$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$与z轴垂直．

Answer 1

分析 （1）利用空间向量坐标运算法则能求出2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的值，并能求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所成角的余弦值．
（2）z轴的方向向量为（0，0，1），λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），由向量垂直的性质，能求出λ=2μ时，λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$与z轴垂直．

解答 解：（1）∵空间向量$\overrightarrow{a}$=（3，5，-4），$\overrightarrow{b}$=（2，1，8），
∴2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16），
3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28），
$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=6+5-32=-21，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所成角的余弦值为：cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{-21}{\sqrt{9+25+16}•\sqrt{4+1+64}}$=-$\frac{7\sqrt{138}}{230}$．
（2）z轴的方向向量为（0，0，1），
λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），
∵λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$与z轴垂直，则0•（3λ+2μ）+0•（5λ+μ）+（-4λ+8μ）=0，即8μ-4λ=0，∴λ=2μ．
∴λ=2μ时，λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$与z轴垂直．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查向量所成角的余弦值的求法，考查向量垂直的条件的判断与应用，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．