Question

13．讨论函数f（x）=a（x-5）+6lnx在其定义域上的单调区间．

Answer 1

分析 求导数得到$f′（x）=a+\frac{6}{x}$，讨论a：a≥0时，便有f′（x）＞0，这便得出（0，+∞）为f（x）的单调递增区间，而a＜0时，得到f′（x）=$\frac{a（x+\frac{6}{a}）}{x}$，从而分$x∈（0，-\frac{6}{a}）$和$x∈（-\frac{6}{a}，+∞）$，这样即可判断f′（x）的符号，从而得出a＜0时的f（x）的单调区间．

解答 解：$f′（x）=a+\frac{6}{x}$；
（1）若a≥0，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是f（x）的单调递增区间；
（2）若a＜0，$f′（x）=\frac{a（x+\frac{6}{a}）}{x}$；
∴$x∈（0，-\frac{6}{a}）$时，$x+\frac{6}{a}＜0$，f′（x）＞0；x$∈（-\frac{6}{a}，+∞）$时，$x+\frac{6}{a}＞0$，f′（x）＜0；
∴$（0，-\frac{6}{a}）$是f（x）的单调递增区间，$（-\frac{6}{a}，+∞）$为f（x）的单调递减区间．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性和求函数单调区间的方法，不等式的性质，注意正确求导．