Question

13．已知函数f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{n-3x}$的定义域上的奇函数，且f（2）=-$\frac{5}{3}$，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明
（Ⅲ）若g（2a）＞g（a-1）+2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得f（-x）=-f（x），可得n，利用f（2）=-$\frac{5}{3}$，求出m，即可求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）利用导数判断证明判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）确定g（x）为奇函数，g（2）=g（1）+g（1）=2，g（2a）＞g（a-1）+2，化为g（2a）＞g（a+1），利用函数g（x）是R上的增函数，可得不等式，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）由定义域为R的函数f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{n-3x}$是奇函数，
可得$\frac{m{x}^{2}+2}{n+3x}$=-$\frac{m{x}^{2}+2}{n-3x}$，即n+3x=-n+3x，解得n=0，
∵f（2）=-$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{4m+2}{-6}$=-$\frac{5}{3}$，
∴m=2，
∴f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{-3x}$；
（Ⅱ）函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∵f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{-3x}$=-$\frac{2}{3}$（x+$\frac{1}{x}$），
∴f′（x）=-$\frac{2}{3}•\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
∵x＞1，
∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）令x=y=0，得g（0）=0，
令y=-x，可得g（0）=g（x）+g（-x），
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）为奇函数，
∵g（1）=1，
∴g（2）=g（1）+g（1）=2，
∵g（2a）＞g（a-1）+2，
∴g（2a）＞g（a+1），
∵函数g（x）是R上的增函数，
∴2a＞a+1，
∴a＞1．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及应用：解不等式，考查二次不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．