Question

4．在平面直角坐标系中，△ABC满足：∠C=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C随着在y轴上运动．
（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，直接由三角形中的勾股定理得答案；
（2）结合图形，利用余弦定理求解；
（3）取AC中点D，连接OD，BD，则BD=$\sqrt{2}$，OD=1，利用三角形中两边之和大于第三边可得当O，D，B共线时，OB=OD+BD=1+$\sqrt{2}$最大，并进一步求得此时图形应满足什么条件．

解答 解：（1）当A在原点时，原点O到点B的距离OB=AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$；

（2）当OA=OC时，∠OCB=135°，OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$，BC=1，
由余弦定理可得：OB=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}-2×1×\sqrt{2}cos135°}$=$\sqrt{3+2}=\sqrt{5}$；

（3）取AC中点D，连接OD，BD，则BD=$\sqrt{2}$，OD=1，
当O，D，B不共线时，OB＜OD+BD=1+$\sqrt{2}$，
当O，D，B共线时，OB=OD+BD=1+$\sqrt{2}$，此时OB最大，
由CE=CB=1，可知∠CEB=45°，
又OE=CE，可得$∠ACO=\frac{45°}{2}=22.5°$．

点评 本题考查两点间的距离公式的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．