Question

3．已知直线l：x-y+a=0（a＜0）和圆C：（x-3）²+（ y-2）²=19相交于两点A、B，且|AB|=2$\sqrt{17}$．
（1）求实数a的值；
（2）设O为坐标原点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由题意，圆心到直线的距离d=$\frac{|3-2+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{19-17}$=$\sqrt{2}$，结合a＜0，即可求实数a的值；
（2）证明x₁x₂+y₁y₂=0，即可证明：OA⊥OB．

解答 （1）解：由题意，圆心到直线的距离d=$\frac{|3-2+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{19-17}$=$\sqrt{2}$，
∵a＜0，
∴a=-3；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y=x-3代入圆方程得：2x²16x+15=0，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=$\frac{15}{2}$，
∵y₁=x₁-3，y₂=x₂-3，
∴y₁y₂=（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=-$\frac{15}{2}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查基础知识的综合运用和灵活能力．