Question

13．不等式|2x-1|-|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．
（1）求a，b的值；
（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k使-$\frac{3a}{2（x-y）}$+$\frac{b}{4（y-z）}$≥$\frac{k}{x-z}$恒成立，并求出k的最大值．

Answer 1

分析 （1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由条件可得-$\frac{3a}{2（x-y）}$+$\frac{b}{4（y-z）}$＞$\frac{2}{x-z}$＞$\frac{1}{x-z}$，从而证得结论，可得k的最大值为2．

解答 解：（1）由不等式|2x-1|-|x+1|＜2，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-2x-（-x-1）＜2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x-（x+1）＜2}\end{array}\right.$，
或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-（x+1）＜2}\end{array}\right.$ ③．
解①求的x∈∅，解②求得-$\frac{2}{3}$＜x≤$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$＜x＜4，
综上可得，-$\frac{2}{3}$＜x＜4．
再根据不等式的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=-$\frac{2}{3}$，b=4．
（2）∵x＞y＞z，∴x-y＞0，y-z＞0，x-z＞0，
∴-$\frac{3a}{2（x-y）}$+$\frac{b}{4（y-z）}$=$\frac{2}{2（x-y）}$+$\frac{4}{4（y-z）}$=$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$＞$\frac{1}{x-z}$+$\frac{1}{x-z}$=$\frac{2}{x-z}$＞$\frac{1}{x-z}$，

故存在实数k使-$\frac{3a}{2（x-y）}$+$\frac{b}{4（y-z）}$≥$\frac{k}{x-z}$恒成立．
由以上可得，k的最大值为2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质应用，属于中档题．