Question

3．如图所示的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=AD=AA₁=1，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则CA₁的长=1．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{C{A}_{1}}$=$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，对上式取平方，利用平面向量的数量积计算出CA₁²，开方即得CA₁的长度．

解答 解：∵AB=AD=AA₁=1，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=cos120°=-$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=cos120°=-$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$²=（$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$）²=$\overrightarrow{CB}$²+$\overrightarrow{CD}$²+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$²+2$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=1．
∴CA₁=|$\overrightarrow{C{A}_{1}}$|=1．
故答案为1．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．