Question

12．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，则（a₄+b₄）（a₅-b₅）=$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 由a₁=2，b₁=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，可得a_n-b_n=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-{b}_{n-1}）$，于是a₅-b₅=$（\frac{1}{2}）^{4}（{a}_{1}-{b}_{1}）$，同理可得：a₄+b₄=（a₃+b₃）+2=（a₁+b₁）+6，即可得出．

解答 解：∵a₁=2，b₁=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1}\\{{b}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，
∴a_n-b_n=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-{b}_{n-1}）$，
∴a₅-b₅=$（\frac{1}{2}）^{4}（{a}_{1}-{b}_{1}）$=$\frac{1}{16}$；
同理可得：a₄+b₄=（a₃+b₃）+2=（a₁+b₁）+6=9，
则（a₄+b₄）（a₅-b₅）=$\frac{1}{16}$×9=$\frac{9}{16}$．
故答案为：$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．