Question

20．已知f（x）=-cos²x+sinx+a，对任意x∈R都有f（x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{9}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系，配方可得f（x）=（sinx+$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{5}{4}$，可得sinx=-$\frac{1}{2}$，取得最小值，再由恒成立思想，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：f（x）=-cos²x+sinx+a
=sin²x+sinx+a-1=（sinx+$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{5}{4}$，
当sinx=-$\frac{1}{2}$，即x=2kπ+$\frac{7π}{6}$或x=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k为整数时，
f（x）取得最小值a-$\frac{5}{4}$，
由对任意x∈R都有f（x）≥1恒成立，
可得a-$\frac{5}{4}$≥1，解得a≥$\frac{9}{4}$，
故答案为：[$\frac{9}{4}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用可化为二次函数的最值的求法，同时考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．