Question

7．己知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲线y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=bx．
（I）求函数f（x）的解析式：
（Ⅱ）当x∈R时，求证；f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，确定函数的单调性，可得φ（x）_min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立等价为$\frac{f（x）}{x}$＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）_min=g（1）=e-2，即可求实数k的取值范围．

解答 （Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知f（0）=1+a，f′（0）=1，
由在点x=0处的切线方程y=bx，可得1+a=0，b=1，
解得a=-1，b=1，
∴f（x）=e^x-x²-1．
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x²+x．
（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立即为$\frac{f（x）}{x}$＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{（x-1）（{e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$．
由y=e^x-x-1的导数为e^x-1，当x＞0时，函数递增，当x＜0时，函数递减，
可得x=1取得最小值0，
可知当x∈（0，+∞）时，e^x-x-1＞0恒成立，
令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）_min=g（1）=e-2．
∴k＜g（x）_min=g（1）=e-2，∴实数k的取值范围为（-∞，e-2）．

点评 本题主要考查了利用导数求某点处的切线和函数的单调区间、极值和最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题．