Question

8．函数f（x）=alog₂（1+x）-log₂（1-x）图象关于原点对称．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式；f^-1（x）＞$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数为定义域为（-1，1）的奇函数，由f（-x）+f（x）=0可得a的方程，解方程可得a值；
（2）求反函数可得f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，代入解不等式可得．

解答 解：（1）由1+x＞0和1-x＞0可得-1＜x＜1，
∴函数f（x）=alog₂（1+x）-log₂（1-x）的定义域为（-1，1），
∵函数f（x）=alog₂（1+x）-log₂（1-x）图象关于原点对称，
∴函数f（x）为（-1，1）上的奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即alog₂（1-x）-log₂（1+x）+alog₂（1+x）-log₂（1-x）=0，
故（a-1）[log₂（1-x）-log₂（1+x）]=（a-1）log₂$\frac{1-x}{1+x}$=0，
∴a-1=0，解得a=1，故f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$；
（2）由（1）可得y=log₂$\frac{1+x}{1-x}$，∴$\frac{1+x}{1-x}$=2^y，解得x=$\frac{{2}^{y}-1}{{2}^{y}+1}$，
∴f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，由f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＞$\frac{1}{3}$可得3（2^x-1）＞2^x+1，
化简可得2^x＞1，解得x＞0，故不等式的解集为{x|x＞0}

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及反函数以指数函数的知识，属中档题．