Question

20．已知点A，B，C，D均在球O上，AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，若三棱锥D-ABC体积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，则球O的表面积为16π．

Answer 1

分析 确定S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，△ABC的外接圆的半径为$\sqrt{3}$，利用三棱锥D-ABC的体积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，可得D到平面ABC的最大距离为1，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：∵AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3-\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵三棱锥D-ABC的体积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴D到平面ABC的最大距离为1，
∵cos∠A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠A=$\frac{1}{2}$，
设△ABC的外接圆的半径为r，则2r=2$\sqrt{3}$，∴r=$\sqrt{3}$；
设球的半径为R，则（$\sqrt{3}$）²=1×（2R-1），
∴R=2，
∴球O的表面积为4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评 本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离为1是关键．