Question

17．对于函数f（x），等式f（1+x）•f（1-x）=4对定义域中的每一个x都成立，已知当x∈[0，1]时，f（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤f（x）≤4，则m的取值范围是0＜m≤3．

Answer 1

分析 根据当x∈[0，1]时，f（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），确定f（x）的对称轴为$x=\frac{m}{2}$，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分别求出f（x）在[0，1]和[0，2]上的值域，列出不等式组，求解即可得到m的取值范围．

解答 解：∵f（1+x）•f（1-x）=4对定义域中的每一个x都成立，
∴f（x+1）=$\frac{4}{f（1-x）}$，
即f（x）=$\frac{4}{f（2-x）}$，
∴当x∈[1，2]时，f（x）=$\frac{4}{f（2-x）}$，其中2-x∈[0，1]，
又∵x∈[0，1]时f（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1，其对称轴方程为$x=\frac{m}{2}$，
①当$\frac{m}{2}＞1$，即m＞2时，f（x）在[0，1]上的值域为[f（1），f（0）]，即[2，m+1]，
∴f（x）在[0，2]上的值域为$[2，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，2]=[\frac{4}{m+1}，m+1]$，
由题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1≤4}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，∴2＜m≤3；
②当$\frac{1}{2}≤\frac{m}{2}≤1$，即1≤m≤2时，f（x）的值域为[f（$\frac{m}{2}$），f（0）]，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]$，
∴f（x）在[0，2]上的值域为$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，
由题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤4}\\{m+1≤4}\end{array}}\right.$，且$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，解得1≤m≤2；
③当$0＜\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，即0＜m≤1时，f（x）的值域为[f（$\frac{m}{2}$），f（1）]，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]$，
∴f（x）在[0，2]上的值域为$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]∪[2，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，
由题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤4}\end{array}}\right.$，解得0＜m≤1．
综合①②③，所求m的取值范围是0＜m≤3．
故答案为：0＜m≤3

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为一元二次函数，结合函数单调性和值域之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．